Bonjour,

Dans ce cours, nous allons apprendre tous d'abord ce qu'est un système de numération, quels sont-ils et comment passé d'un système à l'autre.

Introduction et définition

Un système de numération est un système utilisé pour la représentation des nombres.

L'un de ces système est notamment la base du fonctionnement d'un ordinateur, le système binaire, une suite de 0 et de 1.

I°) Les différents systèmes de numération

Il existe 3 types de système de numération :

_ Le système décimal :

Il comprend 10 symboles (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 et 9)

_ Le système binaire :

Il comprend 2 valeurs (0 et 1)

_ Le système hexadécimal :

Il comprend 16 symboles ( 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 et A; B; C; D; E; F )

Ps : je vous aient mentis en fait, ils existe en réalité 4 système de numération, mais nous n'allons pas parler de l'octal ici. Nous développerons le sujet sur les 3 plus utilisés.

II°) Correspondance entre les systèmes de numération



Vous vous dite sûrement, ben, il vient de nous dire qu'il y'a 10 symboles pour le système décimal, 2 pour le binaire et 16 pour l'hexadécimal et j'en voit 16 partout dans le tableau. Oui, c'est exact, mais ne vous y tromper pas, on parle ici de symboles ou valeurs existantes dans ce système et non des possibilités de les utilisé, par exemple, en système décimal, dans le tableau ci-dessus il y'a 13, mais 13 est bien composé d'un 1 et d'un 3. Ils sont tous deux comprit dans les symboles du systèmes décimal. ( noté aussi que le 0 est prit en compte )
Dans le tableau, dans le système binaire, on peu enlever tous les 0 placer avant un 1, exemple, pour 0000 on peu remplacer par 0, 0001 par 1, 0010 par 10 , ect, mais c'est plus simple comme cela pour la suite du cours.

Quelques petites conventions à retenir


_Lorsque vous parlez d'un système binaire, vous mettez ce système entre parenthèses puis vous mettrez un "2" après cette parenthèse comme suit :

(1001 0100 1011 1010)2 < ce 2 nous rappel qu'il n'existe que deux valeur dans ce système, le 0 et le 1, nous mettrons donc toujours un 2 derrière la parenthèse pour parler d'un système binaire.

_Lorsque vous parlez d'un système décimal, vous mettrez ce système entre parenthèses puis vous mettrez un "10" après cette parenthèse comme suit :

(77)10 < ce 10 nous rappel qu'il existe 10 symboles dans ce système, 0; 1 ; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 et 9, nous mettrons donc toujours un 10 derrière la parenthèse pour parler d'un système décimal.

_Lorsque vous parlez d'un système hexadécimal, vous mettrez ce système entre parenthèses puis vous mettrez un "16" après cette parenthèse comme suit :

(45EF4)16 < ce 16 nous rappel qu'il existe 16 symboles dans ce système, 0; 1 ; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B; C; D; E et F, nous mettrons donc toujours un 16 derrière la parenthèse pour parler d'un système hexadécimal.

III°) passage d'un système binaire à un système décimal

C'est ici que le cours commence à devenir devient compliquer
[...]


Mais non, vous allez voir, si vous suivez bien sa devrais aller.

Pour passé d'un système binaire à un système décimal, il existe un théorème fort compliquer qui ne voudras sûrement rien dire pour vous mais que j'expliquerais par la suite :

Notre système initial est donc en binaire et ce présente comme suit :

(101011)2

Nous allons décortiquer ce système en verticale pour mieux comprendre la notation par la suite :

1 > Nous nommerons ce chiffre a5
0 > " " " " a4
1 > " " " " a3
0 > " " " " a2
1 > " " " " a1
1 > " " " " a0

retenez bien cette notation pour la suite du théorème.

La règle générale pour un système binaire :
([an][an-1][an-2] [...] [a1][a0])2

je vais décortiquer tous sa en image avec l'exemple ci-dessus, c'est à dire (101011)2 :



La règle générale de calcule pour passer du système binaire au système décimale est donc celle-ci :

N=(an.2^n+(an-1).2^(n-1)+ [...] + a1.2^1.a0.2^0)10

Nous allons donc remplacer les an et n par leur équivalent avec le même exemple.

an est donc un chiffre dans le système ( 1 ou 0 )
n est sa position dans le système en partant de la fin.

Donc :

N=(a5.2^5+a4.2^4+a3.2^3+a2.2^2+a1.2^1+a0.2^0)10

On remplace par les valeur numérique, je fait un petit rappel :

1 > a5
0 > a4
1 > a3
0 > a2
1 > a1
1 > a0

Je reprend le calcul du dessus :

N=(a5.2^5+a4.2^4+a3.2^3+a2.2^2+a1.2^1+a0.2^0)10
N=(1.2^5 +0.2^4 +1.2^3 +0.2^2 +1.2^1 +1.2^0)10

On calcul :

N=( 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 )10
N=(43)10

Voila, on vient de passer d'un système binaire à un système décimal.

(101011)2 correspond à (43)10
ou autrement dit 101011 en système binaire correspond à 43 en système décimal.

Voila, vous avez donc accomplit un exploit, sisi je vous assure.
Les calculs étaient quelques peu long [ pas si compliquer que sa finalement ] avec un système binaire de 6 chiffres comme 101011, imaginer les calcul pour un système binaire comme celui-ci : (1011 010 101 0010 1010 1001 0010 0100 1001 0010 0101)2

[...]

Sa peu être long mais je vous le ferais pas faire aujourd'hui lui

Voici quelques exemples :

(1011)2= N=1.2^3+0.2^2+1.2^1+1.2^0
> N=8 + 0 + 2 +1
> N=(11)10 > si vous regarde dans le tableau, sa colle

(1111)2= N=1.2ç3+1.2^2+1.2^1+1.2^0
> N=8 + 4 + 2 + 1
> N=(15)10 > de même, en se référent au tableau, l'on trouve bien cela

Voila, fin du 3eme chapitre.

IV°) Passage d'un système décimal vers le système binaire

Alors ici c'est relativement facile à faire, il suffit de savoir diviser par 2 ...

Alors, théoriquement, lorsque l'on se trouve face à un système décimal que l'on veut convertir en système binaire, certain pourrais dire de but en blanc qu'il suffit de faire l'inverse de ce qu'on à fait plus haut...Ben si vous y réfléchissez bien...NON

Donc, ce n'est pas ça, je reprend, lorsque l'on se trouve face à un système décimal que l'on veut convertir en système binaire, il suffit de diviser ce système par deux, de noter le reste (1 ou 0) quelques part et le résultats autre part, diviser le résultat encore par deux, noter le reste et le résultat,... jusqu'à obtenir comme résultat 0 et avoir des reste allant de 0 à 1 uniquement. Ensuite, la suite de reste doit être retourner, au lieu de lire cette suite de gauche à droite, lisez-là de droite à gauche et réécrivez-là. Vous avez l'équivalent de votre système décimal en système binaire.

Là, vous devez certainement vous posez pas mal de question, c'est normal, la théorie est toujours un peu difficile à comprendre, c'est pour cela que l'on va passer à la pratique.

Un exemple, ce système (77)10, vous voulez le mettre en système binaire parce que votre prof de Mesures Physiques et Informatiques vous l'a expressément demander...

77/2=38 > reste 1
38/2=19 > reste 0
19/2=9 > reste 1
9/2=4 > reste 1
4/2=2 > reste 0
2/2=1 > reste 0
1/2=0 > reste 1

on obtient 1011001, on inverse, on à donc 1001101
(92)10 = (1001101)2

petites explications en images :



Et un dernier exemples : l'on veut passer le système (254)10 en binaire, il suffit de faire :

254/2=127 > reste 0
127/2=63 > reste 1
63/2=31 > reste 1
31/2=15 > reste 1
15/2=7 > reste 1
7/2=3 > reste 1
3/2=1 > reste 1

Donc, on inverse les restes : 0111111 > (1111110)2

(254)10 = (1111110)2

Voila, fin du 4eme chapitre ! On passe à la suite

V°) Passage d'un système hexadécimal vers le système binaire

Alors ici, c'est extrêmement simple,

Je vous rappel qu'un système hexadécimal est composé de 16 symboles : 0 à 9 et A à F.
Donc il suffit de se rapporter au tableau pour convertir.
Par exemple avec le système (9BC)16 :

9, si l'on se rapporte au tableau, en binaire, est égal à 1001
B égal à 1011
et C à 1100

On colle tous sa, ça nous donne (1001 1011 1100)2

Vous pouvez mettre des espaces entre chaque groupe de 4 chiffres parce que le binaire c'est comme sa, si vous avez un système comme celui-ci : (0101101111)2, vous avez 2 paires de 4 et une de 2. Alors on rajoute des 0 au début du système pour obtenir des paires de 4 chiffres :
(0101101111)2 => (0101 1011 11)2
Il nous manque donc 2 chiffres dans le dernier terme, on rajoute des zéro au début du système jusqu'à obtenir une paire de 4 chiffres :
(0101101111)2 => (0101 1011 11)2 => (00 0101 1011 11)2
Mais là, Vous avez juste à replacer les chiffres pour obtenir des paires de 4 :
(0101101111)2 => (0101 1011 11)2 => (00 0101 1011 11)2 => (0001 0110 1111)2

Ps : lorsque vous passer d'un système décimal à binaire, et que vous trouver au départ (0100110100111)2, il faut rajouter les 0 au début jusqu'a obtenir des paires de 4 comme ceci : (0000100110100111)2
> (0000 1001 1010 0111)2

Là, c'est juste

un petit exemple et je vous dispense d'image pour ce chapitre, c'est archi-simple :

(3F23)16=(0011 1111 0010 0011)2

Voila, fin du chapitre 5 et passage au 6eme chapitre :

VI°) Passage d'un système binaire vers le système hexadécimal

Ici, c'est aussi très très simple, si vous avez compris le chapitre précédent, vous faite exactement l'inverse.

Si vous avez un système binaire comme celui-ci :

(1101 1100 0111)2

c'est simple, toujours grâce au tableau :

1101 > D
1100 > C
0111 > 3

(1101 1100 0111)2 = (DC3)16

ET, comme je l'ai dit plus haut :

Citation:

si vous avez un système comme celui-ci : (0101101111)2, vous avez 2 paires de 4 et une de 2. Alors on rajoute des 0 au début du système pour obtenir des paires de 4 chiffres : (0101101111)2 => (0101 1011 11)2 Il nous manque donc 2 chiffres dans le dernier terme, on rajoute des zéro au début du système jusqu'à obtenir une paire de 4 chiffres : (0101101111)2 => (0101 1011 11)2 => (00 0101 1011 11)2 Mais là, Vous avez juste à replacer les chiffres pour obtenir des paires de 4 : (0101101111)2 => (0101 1011 11)2 => (00 0101 1011 11)2 => (0001 0110 1111)2 Là, c'est juste

Et donc, l'exemple donner dans la citation donne sa :

(0101101111)2 = (0101 1011 11)2 = (00 0101 1011 11)2 = (0001 0110 1111 = (06B)16

Voila, fin du cours, on range les classeurs dans les sac et on attend sagement la sonnerie.

Aller, quelques petits exercices pour la semaine prochaine :

1°/ Convertir les système hexadécimal suivant en système binaire :

(9F2)16 ; (3F23)16 ; (F4F)16

2°/ Convertir les systèmes suivant en système héxadécimal :

(1101 0101 0101)2 ; (1101 1010 0101 1111 1110)2 ; (111 0101 1010 1110 1101)2

3°/ Convertir les systèmes suivant en systèmes décimal

(0001 0110)2 ; (1000 1101)2 ; (0011 1101 0111)2

4°/ Convertir les systèmes suivant en système décimal : ( attention, ici il y a un piège, mais c'est totalement fesable, je vous rassure...)

(92)16 ; (2C0)16 ; (37FD)16

5°/ Convertir les systèmes suivant en systèmes héxadécimal : ( attention, ici il y a un piège, mais c'est totalement fesable, je vous rassure...)

(14)10 ; (75)10 ; (314)10


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Remerciement à Mr Kamal, professeur d'M.P.I ( Mesures Physiques et Informatiques ) au lycée Pierre-Emile Martin à Bourges - 18 000 : France.
sans qui je n'aurais apprit tous cela !

Dernière mise à jour et correction des erreurs : 06/02/08 - 17h40 / 17h50

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Bonjour bonjour,

Aujourd'hui je vais un petit peu enrichir le cours et faire une sorte de transition vers les prochain cours qui porteront sur le système octal...
Et oui, ce fameux système octal dont je ne vous aient pas parlé dans l'autre cours...
En attendant de préparé le cours sur l'octal et les converstions possibles, je vous laisse un jolie tableau de convertions, de quoi vous amusez à réaliser de jolie codes secrets. Comme sa en cours, le prof, ben il comprend rien...Et vous, ben vous mettez l'heure à lire les 3 phrases, comme sa, vous ne vous faites pas choper et en plus sa passe le temps. Tous le monde y gagne

Voici le tableau en question :






[ tableau en 4 parties ( 4 images mit les unes à la suite des autres ) pour obtenir une grande image, sinon la photo est compréssé et beaucoups trop petite pour la lecture. De ce fait, il ce peu qu'il y'ais quelques petits décalages dans le tableau, je m'en excuse ]

Joli poste.

Le début ressemble bcp au cours de MPI de seconde.
Pour la suite les prof on pas le niveau

Trop compliqué pour moi ce cours !